Structure and isomorphic classification of compact quantum groups
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We classify the compact quantum groups Au(Q) and Bu(Q) up to isomorphism and analyze their structures. Structures et classifications isomorphiques des groupes quantiques compacts Au(Q) et Bu(Q) Résumé. Nous classifions les groupes quantiques compacts Au(Q) et Bu(Q) à isomorphisme près et analysons leur structures. Version française abrégée Rappelons [5, 4, 3] que pour chaque Q ∈ GL(n,C), le groupe quantique compact Au(Q) (resp. Bu(Q)) est défini par des générateurs uij (i, j = 1, ...n) et les relations u ∗ = u et uQūQ = In = QūQ u (resp. uQuQ = In = QuQ u), où u = (uij). La représentation u fondamentale de Au(Q) (resp. Bu(Q)) est irréductible si et seulement si Q est positive (resp. QQ̄ ∈ R), cf. [9, 1]. Dans ce cas-là, nous classifions Au(Q) et Bu(Q) à isomorphisme près, et démontrons que ils ne sont pas les produits libres ni les produits tensoriels ni les produits croisés (cf. [5, 6]). Cependant, pour des Q généraux, Au(Q) et Bu(Q) sont les produits libres des types précédent. THÉORÈME 1. Soit Q ∈ GL(n,C) et Q ∈ GL(n,C) des matrices positives telles que Tr(Q) = Tr(Q) et Tr(Q) = Tr(Q −1 ). Soit q1 ≥ q2 ≥ · · · ≥ qn et q ′ 1 ≥ q ′ 2 ≥ · · · ≥ q ′ n leur valeurs caractéristiques respectivement. Alors, (1). Au(Q) et Au(Q ) sont isomorphiques si et seulement si (i) n = n, et (ii) (q1, q2, · · · , qn) = (q 1, q ′ 2, · · · , q ′ n) ou (q −1 n , q −1 n−1, · · · , q −1 1 ) = (q ′ 1, q ′ 2, · · · , q ′ n). (2). Au(Q) n’est pas un produit libre ni un produit tensoriel ni un produit croisé. THÉORÈME 2. Soit Q ∈ GL(n,C) et Q ∈ GL(n,C) des matrices telles que QQ̄,QQ ∈ R. Alors, (1). Bu(Q) et Bu(Q ) sont isomorphiques si et seulement si (i) n = n, et (ii) il existe S ∈ U(n) et c ∈ C tels que Q = cSQS. (2). Bu(Q) n’est pas un produit libre ni un produit tensoriel ni un produit croisé. Nous paramètrons précisément les classes de isomorphisme des Bu(Q) dans la Sect. 2. Notons h la mesure de Haar de Au(Q) (ou Bu(Q)). THÉORÈME 3. Soit Q ∈ GL(n,C). Soit u = Sdiag(m1w1,m2w2, · · · ,mkwk)S −1 une décomposition 1
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